Gödels Theorem ist das tiefgreifenste Ergebnis der mathematischen Logik. Es hat weitreichende philosophische Konsequenzen für die Grenzen des Wissens und das Wesen des Geistes. Im System der modernen Logik können arithmetische Aussagen ausgedrückt werden, z.B.: "Für jedes Paar von Zahlen n und m gilt: n + m = m + n." Man kann zudem Axiome formulieren -- die sogenannten "Peano-Axiome" --, mit deren Hilfe viele mathematische Wahrheiten bewiesen werden können.
Es kam jedoch die Frage auf, ob man ausgehend von diesen Axiomen alle arithmetischen Wahrheiten beweisen könne, ohne eine falsche Aussage zu beweisen. Kurt Gödel beantwortete diese Frage mit Nein. Zunächst entdeckte er eine Kodierung, durch die arithmetische Aussagen so interpretiert werden können, dass sie etwas über sich selbst aussagen und darüber, was mit verschiedenen Axiomen bewiesen werden kann. Dann fand er eine arithmetische Aussage (K), die in seiner Kodierung Folgendes besagt: "(K) ist nicht beweisbar." Er schlussfolgerte, dass die Axiome eine falsche Aussage beweisen, falls (K) beweisbar ist. Aber wenn (K) nicht beweisbar ist, dann ist die Aussage wahr, und folglich gibt es eine Wahrheit, die die Axiome nicht beweisen.
Es gibt nicht nur mathematische Wahrheiten, die nicht mit den Peano-Axiomen bewiesen werden können, vielmehr bleiben grundsätzlich in Axiomensystemen einige Wahrheiten unbeweisbar. Dies wird als "Gödels Unvollständigkeitstheorem" bezeichnet. Mit ihm scheint eine Grenze für mathematisches Wissen gesetzt zu sein.
